Dekonvolusi Maximum-Likelihood

Gambar 1 mengilustrasikan asumsi fundamental dekonvolusi maximum-likelihood, yakni reflektivitas bumi tersusun atas event-event besar yang bercampur dengan latar belakang event-event kecil Gaussian.

Gambar 1 : Asumsi dasar metoda Maximum-Likelihood

Hal ini berlawanan dengan dekonvolusi spiking, yang mengasumsikan distribusi random sempurna koefisien refleksi. Reflektivitas real log sonik pada Gambar 1 menunjukkan bahwa model seperti ini bisa dipertanggung jawabkan. Secara geologis, event-event besar tersebut berasosiasi dengan ketidakselarasan dan batas litologi utama.

Dari asumsi-asumsi model tersebut, kita dapat menurunkan fungsi objektif yang dapat diminimalkan untuk menghasilkan reflektivitas yang paling mirip dan kombinasi wavelet yang konsisten dengan asumsi statistika. Perhatikan bahwa metoda ini memberikan estimasi reflektivitas sparse dan wavelet.

Fungsi objektif J diberikan oleh :

dimana r(k) = koefisien refleksi pada sampel ke-k, m = jumlah refleksi, L = jumlah total sampel, N = akar kuadrat variasi bising, n = noise pada sampel ke-k, λ = likelihood bahwa sampel mempunyai sebuah refleksi. Urutan reflektivitas diasumsikan bersifat jarang , berarti sebuah spike yang diharapkan diatur oleh parameter λ yang merupakan rasio dari jumlah spike tidak nol yang diharapkan diatur oleh jumlah sampel trace.

Biasanya λ mempunyai nilai kurang dari 1. Parameter lainnya yang diperlukan untuk mendeskripsi perilaku yang diharapkan adalah R , ukuran RMS spike besar, dan N, ukuran RMS dari noise. Setelah parameter-parameter tersebut dispesifikasi, semua solusi dekonvolusi dapat diuji untuk melihat apakah ia merupakan hasil proses statistika dengan parameter-parameter tersebut.

Sebagi contoh, bila estimasi reflektivitas mempunyai jumlah spike yang lebih besar daripada nilai yang diharapkan, maka ia mencerminkan hasl yang tidak benar. Dalam ungkapan yang lebih sederhana, dapat dikatakan bahwa kita mencari solusi dengan jumlah spike minimum pada reflektivitasnya dan komponen noise yang lebih rendah.

Gambar 2a & b menunjukkan dua kemungkinan solusi untuk input trace seismik yang sama.

Gambar 2 : (a) Fungsi objektif untuk satu alternatif solusi pada input trace seismik (b) Fungsi objektif untuk aternatif kedua solusi trace seismik

Tentu saja terdapat jumlah yang tidak terbatas dari solusi yang mungkin didapatkan sehingga akan memerlukan waktu yang lama untuk melihat masing-masing kemungkinan solusi tersebut. Oleh karenanya digunakan metoda yang lebih sederhana untuk mendapatkan jawaban yang paling optimum.

Prinsipnya kita mulai dengan estimasi wavelet awal, estimasi reflektivitas sparse, selanjutanya di-iterasi sampai sebuah fungsi objektif yang rendah dapat tercapai dan dapat diterima. Hal ini ditunjukkan dengan Gambar 3 .

Gambar 3 : Diagram alir untuk memperoleh reflektivitas dan wavelet, iterasi dilakukan sampai diperoleh konvergenitas

Terdapat dua tahap prosedur yakni estimasi wavelet, memperbaharui reflektivitas sehingga diperoleh refektivitas estimasi, dan memperbaharui wavelet.

Prosedur diatas diilustrasikan pada data model (Gambar 4 dan 5) pada Gambar 4 prosedur untuk memperbaharui reflektivitas ditunjukkan. Ia terdiri atasperosedur penambahan koefisien refleksi satu persatu sampai satu set koefisien sparse yang optimum diperoleh. Algoritma untuk memperbaharui reflektivitas ini dikenal dengan nama Single Most Likely Addition (SMLA) karena setiap selesai satu tahapan ia akan mencoba menemukan spike optimum untuk ditambahkan.

Gambar 4 : Algoritma Single Most Likely Addition (SMLA) yang mengilustrasikan model reflekivitas sederhana

Gambar 5 menunjukkan prosedur untuk memperbaharui fasa wavelet. Model masukan ditunjukkan pada bagian atas gambar, dan reflektivitas serta fasa yang diperbaharui ditujukkan setelah iterasi kesatu, kedua, kelima, dan kesepuluh. Perhatikan bahwa hasil akhir yang diperoleh cukup bisa mengestimasi wavelet model.

Gambar 5 : Prosedur untuk memperbaharui wavelet pada metoda Maximum-Likelihood