Multi Linear Regression (MLR)

MLR merupakan metoda untuk memprediksi sebuah nilai target berdasarkan beberapa variable masukan.

Secara matematis MLR dapat dituliskan sbb:
Persamaan diatas menunjukkan multi linear regresi untuk mencari nilai y berdasarkan input x₁, x₂ dan seterusnya sampai x_i . Penyelesaian persamaan ini adalah mencari nilai koefisien b dan konstanta α

Untuk memperoleh nilai α dan koefisien b, maka langkah matematis yang dilakukan adalah dengan meminimalkan selisih antara nilai target dengan nilai prediksi. Nilai selisih tersebut biasanya dituliskan dalam R²
Definisi meminimalkan adalah turunan pertama dari R² terhadap masing-masing variable input sama dengan nol.

Didalam dunia seismik, metoda ini populer digunakan seperti untuk memprediksi sifat porositas, vshale, permeabilitas (?) berdasarkan input seperti quadrature, near, mid, far stack, instantaneous phase, instantaneous frequency, reflection strength, dll.

Didalam memilih variabel input untuk memprediksi suatu target output tertentu haruslah memiliki alasan adanya hubungan sifat fisis diantara keduanya.

Artificial Neural Network (ANN)

Artificial Neural Network (ANN) atau jaringan syaraf tiruan adalah jaringan dari sekelompok unit pemroses kecil yang dimodelkan berdasarkan perilaku jaringan syaraf manusia (Wikipedia).

Algoritma ANN lahir dari gagasan seorang psikolog Warren McCulloch dan Walter Pitts pada 1943 yang menjelaskan cara kerja jaringan syaraf dengan perangkat jaringan elektronik.

Didalam dunia seismik eksplorasi, algoritma ANN sudah cukup populer diaplikasikan, diantaranya untuk identifikasi noise, estimasi wavelet, analisa kecepatan, analisis gelombang geser, autotracking reflector, prediksi hidrokarbon, karakterisasi reservoir, dll.

Konfigurasi sederhana algoritma ANN dapat dijelaskan pada gambar dibawah ini:

Courtesy Hampson Russell

Dari gambar di atas terlihat bahwa, prinsip dasar ANN adalah sejumlah parameter sebagai masukan (input layer) diproses sedemikian rupa didalam hidden layer (perkalian, penjumlahan, pembagian, dll.), lalu diproses lagi didalam output layer untuk menghasilkan sebuah output.

Courtesy Hampson Russell

Gambar diatas menunjukkan contoh penerapan ANN untuk data seismik, katakanlah kita memiliki beberapa input seperti impedance (x1), reflection strength (x2), instantaneous frequency (x3),… dll . yang akan digunakan untuk memprediksi porositas reservoir sebagai output. Maka secara sederhana porositas reservoir akan didapatkan dengan mengkalikan setiap sampel data input dengan suatu pembobotan (weight) lalu dijumlahkan, lalu hasil penjumlahan tersebut menjadi input untuk fungsi aktivasi untuk menghasilkan parameter porositas.

Fungsi aktivasi tersebut dapat berupa sigmoid function ataupun hyperbolic tangent function (perhatikan keterangan dibawah ini).

Courtesy Hampson Russell

Tentu kita menginginkan agar nilai porositas yang diprediksi semirip mungkin dengan nilai porositas yang sesungguhnya, dengan kata lain kita harus memiliki nilai selisih (baca error) antara nilai prediksi dengan nilai sesungguhnya yang sekecil mungkin, untuk tujuan ini didalam algoritma ANN di atas, kita harus melakukan updating nilai weight untuk masing-masing input.

Transformasi Gabor

Transformasi Gabor didasarkan atas prinsip 'pemotongan' sinyal seismik menjadi beberapa segmen. Operasi pemotongan tersebut dilakukan dengan menggunakan pisau ’window’. Berikut ilustrasinya:

Lalu potongan-potongan sinyal diatas (yang masih dalam domain waktu) ditransformasi menjadi domain frekuensi dengan Transformasi Fourier untuk menghasilkan Spektrum Gabor.

Transformasi potongan-potongan sinyal tersebut dikenal dengan Transformasi Gabor. Berbeda dengan Transformasi Fourier yang langsung mentranformasi sinyal secara utuh.

Sementara Inversi Transformasi Gabor dapat dilakukan dengan dua cara berikut:


Didalam dunia seismik, metoda Gabor ini digunakan dalam mengestimasi reflektivitas seismik beresolusi tinggi secara akurat.

Istilah Gabor digunakan untuk menghormati Dennis Gabor, Fisikawan Hongaria, yang dianugerahi hadiah nobel atas penemuan hologram yang sangat bermanfaat untuk peradaban.

Semua gambar diatas courtesy: Margrave G. et al., Consortium for Research in Elastic Wave Exploration Seismology, The University of Calgary.

Foto Dennis Gabor adalah courtesy: fotoartmagazine

Analisis Fourier-Deret Fourier-Transformasi Fourier

Analisis Fourier adalah metoda untuk mendekomposisi sebuah gelombang seismik menjadi beberapa gelombang harmonik sinusoidal dengan frekuensi berbeda-beda.

Dengan kalimat lain, sebuah gelombang seismik dapat dihasilkan dengan menjumlahkan beberapa gelombang sinusoidal frekuensi tunggal. Sedangkah sejumlah gelombang sinusoidal tersebut dikenal dengan Deret Fourier.

Gambar dibawah ini adalah contoh Analisis Fourier.

Sedangkan Transformasi Fourier adalah metoda untuk mengubah gelombang seismik dalam domain waktu menjadi domain frekuensi. Proses sebaliknya adalah Inversi Transformasi Fourier (Inverse Fourier Transform).

Kedua gambar diatas courtesy: Margrave G. et al., Consortium for Research in Elastic Wave Exploration Seismology, The University of Calgary.

Istilah Fourier digunakan untuk menghormati Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830), matematikawan yang memecahkan persamaan differensial parsial dari model difusi panas, beliau memecahkannya dengan menggunakan deret tak hingga dari fungsi-fungsi trigonometri. Foto Jean Baptiste Joseph Fourier adalah courtesy Wikipedia.

Referensi text: Aki and Richard, 1980, Quantitative Seismology, Blackwell Publishing

MTM (Multi Taper Method)

MTM adalah salah satu metoda spektral untuk mengkonversi kawasan waktu sebuah gelombang menjadi kawasan frekuensi. MTM memberikan prediksi frekuensi yang lebih bagus yakni menghindari ’kebocoran’ spektral dibandingkan dengan metoda spectral konvensional (baca: Fast Fourier Transform taper tunggal (single taper FFT)).

Didalam FFT konvensional mungkin anda menggunakan taper tunggal dari jenis Hanning, Hamming, Box Car, dll. Sedangkan didalam MTM digunakan beberapa taper orthonormal yakni sekuen prolate spheroidal diskrit (discrete prolate spheroidal sequences) atau taper Slepian.

Algoritma MTM ditunjukkan pada lampiran berikut ini:

Gambar dibawah menujukkan discrete prolate spheroidal sequences untuk 5 orde terendah. Persamaan C.1 diatas ‘berbunyi’ sebagai berikut: bila kita memiliki gelombang dengan window tertentu katakanlah 100 mili detik, gelombang tersebut dikalikan dengan taper orde 0 (taper warna biru pada gambar C.1) lalu dihitung FFTnya. Kemudian gelombang asal tadi dikalikan dengan taper oder 1 (taper warna hijau pada gambar C.1) lalu dihitung FFTnya, dst. sampai selesai (orde 4-warna pink) Kemudian dicari nilai rata-rata dari semuanya. Nah hasil rata-rata ini adalah spektral dengan metoda MTM.

Persamaan dan gambar diatas courtesy: Agus Abdullah, 2007, PhD Thesis, Research School of Earth Sciences, Australian National University.

Transformasi Hilbert dan Jejak Kompleks

Transformasi Hilbert menggeser fasa sebesar -90° pada jejak seismik atau mengkonversi gelombang cosinus menjadi sinus.

Jejak kompleks, sebagaimana yang diterangkan oleh Tarner et.al (1996) terdiri dari komponen real (jejak seismik konvensional) dan komponen imajiner (jejak kuadratur):
[persamaan (1)]

dimana f(t) adalah jejak seismik real, h(t) jejak kuadratur.

Jejak kuadratur h(t) dapat dideterminasi dari jejak real f(t) dengan menggunakan Transformasi Hilbert (Bracewell 1965, op.cit. Landmark, 1996) :

[persamaan (2)]

dimana (*) merupakan konvolusi. Dari persamaan (2) terlihat bahwa h(t) adalah pergeseran fasa 90 derajat dari jejak seismik real f(t).
Jejak seismik real f(t) dapat diekspresikan dengan Amplitudo yang tergantung pada waktu A(t) dan fasa yang tergantung pada waktu q(t), seperti dinyatakan sebagai berikut:

[persamaan (3)]

dan jejak kuadratur didefinisikan sebagai :

[persamaan (4)]

Sehingga jejak kompleks F(t) didefinisikan sebagai :

[persamaan (5)]

Jika f(t) dan h(t) diketahui (ingat bahwa h(t) dapat diturunkan dari f(t) dengan menggunakan Transformasi Hilbert), maka untuk A(t) dan q(t) diperoleh :

[persamaan (6) dan persamaan (7)]

A(t) disebut dengan ‘Kuat Refleksi’ dan q(t) disebut dengan ‘Fasa Sesaat’. Selanjutnya dengan menurunkan Fasa Sesaat diperoleh ‘Frekuensi Sesaat’

[persamaan (8)]

Matrix Toeplitz

Matrix Toeplitz adalah sebuah matrix dengan elemen diagonalnya sama dengan penurunan dari kiri ke kanan bersifat konstan.
Berikut contohnya:

Matrix ini dinamakan Toeplitz untuk menghormati Otto Toeplitz, Profesor Matematika yang dilahirkan di Jerman tahun 1881.

Otto Toeplitz diusir oleh Nazi karena dia seorang Yahudi dan wafat di Israel.

Foto disamping adalah Otto Toeplitz, courtesy The MacTutor History of Mathematics Archive.

Persamaan Zoeppritz

Auto – Korelasi (Auto Correlation)

teAdalah korelasi sebuah vektor dengan dirinya sendiri.

Contoh proses perhitungan lihat Cross-Korelasi.

Auto-Korelasi fungsi a =[1, 2, 3] akan menghasilkan 3, 8, 14, 8, 3

Cross-Korelasi (Cross Correlation)

Secara matematis Cross-Korelasi dituliskan sebagai:

Dimana a dan b memiliki panjang N dengan (N>1).

Jika panjang salah satu data tidak sama maka bagian yang kosong dari data yang pendek di-nol kan sampai panjangnya sama.

m=1, ..., 2N-1. dan b* adalah conjugate dari b.

Contoh Cross Korelasi fungsi a = [1, 2, 3] dan b =[4, 5, 6]:

Sehingga untuk cross korelasi antara fungsi a dan b diperoleh: 12, 23, 32, 17, 6.

Konvolusi (Convolution)

Secara umum konvolusi didefinisikan sebagai cara untuk mengkombinasikan dua buah deret angka yang menghasilkan deret angka yang ketiga. Didalam dunia seismik deret-deret angka tersebut adalah wavelet sumber gelombang, reflektivitas bumi dan rekaman seismik.

Secara matematis, konvolusi adalah integral yang mencerminkan jumlah lingkupan dari sebuah fungsi a yang digeser atas fungsi b sehingga menghasilkan fungsi c. Konvolusi dilambangkan dengan asterisk ( *).

Sehingga, a*b = c berarti fungsi a dikonvolusikan dengan fungsi b menghasilkan fungsi c.

Konvolusi dari dua fungsi a dan fungsi b dalan rentang terbatas [0, t] diberikan oleh:

Contoh:

a = [1, 2, 3] dan b = [4,5,6] maka a*b :

Sehingga a*b adalah [4,13,28,27,18]

Dari contoh diatas terlihat bahwa jumlah elemen c adalah jumlah elemen a ditambah jumlah elemen b dikurangi 1

(3+3-1 = 5).

Konvolusi dikawasan waktu (time domain) ekuivalen dengan perkalian dikawasan frekuensi dan sebaliknya konvolusi dikawasan frekuensi ekuivalen dengan perkalian dikawasan waktu [Bracewell, 1965]

#!/usr/bin/perl
@a=(1,2,3);
@b=(4,5,6);
$la=@a;  #length a
$lb=@b;  #length b
$lab=$la+$lb-1;  #length of result

for ( $i = 0; $i < $lab; $i++ )
{
    $k=$i;
    $y[$i]= 0;
    for ( $j = 0; $j < $lb; $j++ )  #length b
    {
    if ($k>=0 && $k<$lab) 
    {
         $y[$i] = $y[$i] + ($a[$k]*$b[$j]); 
         $k=$k-1; 
    }
    }
 print $y[$i], "\n";
}