Transformasi Hilbert dan Jejak Kompleks

Transformasi Hilbert menggeser fasa sebesar -90° pada jejak seismik atau mengkonversi gelombang cosinus menjadi sinus.

Jejak kompleks, sebagaimana yang diterangkan oleh Tarner et.al (1996) terdiri dari komponen real (jejak seismik konvensional) dan komponen imajiner (jejak kuadratur):
[persamaan (1)]

dimana f(t) adalah jejak seismik real, h(t) jejak kuadratur.

Jejak kuadratur h(t) dapat dideterminasi dari jejak real f(t) dengan menggunakan Transformasi Hilbert (Bracewell 1965, op.cit. Landmark, 1996) :

[persamaan (2)]

dimana (*) merupakan konvolusi. Dari persamaan (2) terlihat bahwa h(t) adalah pergeseran fasa 90 derajat dari jejak seismik real f(t).
Jejak seismik real f(t) dapat diekspresikan dengan Amplitudo yang tergantung pada waktu A(t) dan fasa yang tergantung pada waktu q(t), seperti dinyatakan sebagai berikut:

[persamaan (3)]

dan jejak kuadratur didefinisikan sebagai :

[persamaan (4)]

Sehingga jejak kompleks F(t) didefinisikan sebagai :

[persamaan (5)]

Jika f(t) dan h(t) diketahui (ingat bahwa h(t) dapat diturunkan dari f(t) dengan menggunakan Transformasi Hilbert), maka untuk A(t) dan q(t) diperoleh :

[persamaan (6) dan persamaan (7)]

A(t) disebut dengan ‘Kuat Refleksi’ dan q(t) disebut dengan ‘Fasa Sesaat’. Selanjutnya dengan menurunkan Fasa Sesaat diperoleh ‘Frekuensi Sesaat’

[persamaan (8)]